Частоты продольных и вертикальных колебаний

Настройка режимов вертикальных и продольных вибраций на транспортном средстве оказывает прямое влияние на приемлемость ходовых качеств. На большинстве транспортных средств есть связь движений в вертикальном и продольном направлениях, так что не существует "чистых" режимов вертикальных и продольных вибраций. Поведение транспортного средства с точки зрения собственных частот и движения центров, связанные с движениями в вертикальном и продольном направлениях, могут быть легко определены аналитически из дифференциальных уравнений движения. Рассмотрим автомобиль, как показано на Рисунке 5.32. Для простоты анализа шина и подвеска будут рассматриваться в качестве единой жёсткости (приращения нагрузки, приложенной в центре контакта шины с дорогой, на единицу вертикального перемещения подрессоренных частей автомобиля), и пренебрежём затуханием и неподрессоренными массами.

Рис. 5.32. Модель автомобиля в продольной плоскости.

Для удобства анализа определим следующие параметры:

α = (Kf + Kr)/M

(5-21)

β = (Krc - Kfb)/M

(5-22)

γ = (Krc2 - Kfb2)/M k2

(5-23)

где:

Kf = Жёсткость спереди

Kr = Жёсткость сзади

b = Расстояние от передней оси до CG

c = Расстояние от задней оси до CG

Iy = Момент тангажа инерции

k = Радиус инерции

Теперь дифференциальные уравнения для вертикального, Z, и продольного, θ, движений простого транспортного средства можно записать в виде:

(5-24)

(5-25)

Из нескольких коэффициентов в этих уравнениях в обоих появляется только β, и его уместно назвать коэффициентом связи. Когда β = 0, связи нет, и подрессоренный центр находится в центре тяжести. Для этого состояния вертикальная сила в CG создаёт только вертикальное колебательное движение и чистый крутящий момент на шасси будет создавать только продольное движение.

Без затухания решения этих дифференциальных уравнений будут по форме синусоидальными. Вертикальное движение будет:

Z = Z sin ωt

(5-26)

продольное движение будет:

θ = θ sin ωt

(5-27)

После двойного дифференцирования и подстановки в Формулу (5-22) получим:

- Z ω2 sin ωt + α Z sin ωt + β θ sin ωt = 0

(5-28)

Поскольку эти члены должны всегда равняться нулю, независимо от мгновенного значения функции синуса:

(α - ω2) Z + β θ = 0

(5-29)

или,

Z / θ = - β / (α - ω2)        

(5-30)

Применяя тот же анализ к Уравнению (5-25), получаем:

Z / θ = - k2 (γ - ω2) / β

(5-31)

Приведённые выше уравнения определяют условия, при которых могут происходить движения. Ограничениями являются отношения амплитуд вертикальных и продольных колебаний, которые должны удовлетворять Уравнениям (5-30) и (5-31).

Приравнивая правые части Уравнений (5-30) и (5-31), получаем выражения для собственных частот двух режимов вибрации.

(α - ω2) (γ - ω2) = β (β/k2)

(5-32)

Тогда

ω4 - (α + γ) ω2 + α γ - β2/k2 = 0        

(5-33)

Значения ω, удовлетворяющие этому уравнению, представляют собой корни, означающие частоты колебательных режимов. Два из этих корней будут мнимыми, и могут быть проигнорированы. Остальные, полученные из этих уравнений, следующие:

(5-34)

(5-35)

(5-36)

Эти частоты всегда лежат за пределами несвязанных собственных частот.

Центры колебаний могут быть найдены с помощью соотношения амплитуд из Уравнений (5-30) и (5-31) с помощью двух частот ω1 и ω2 в Уравнениях (5-35) и (5-36). После подстановки будет обнаружено, что Z/θ(ω1) и Z/θ(ω2) будут иметь противоположные знаки.

Когда Z/θ положительно, оба, и Z, и θ, должны быть либо положительными, либо отрицательными. Таким образом, центр колебания будет впереди CG на расстоянии х = Z/θ. Аналогично, для корня с отрицательным значением для Z/θ, центр колебания будет позади CG на расстоянии х, равном Z/θ. Кроме того, одно расстояние будет настолько большим, что центр колебаний будет выходить за пределы колёсной базы, а другое будет достаточно мало, так что этот центр будет находиться в пределах колёсной базы. Когда центр находится за пределами колёсной базы, движение преимущественно вертикальное, и связанная с ним частота будет частотой вертикальных колебаний. Для центра в пределах колёсной базы это движение будет преимущественно продольным, и связанная с ним частота будет частотой продольных колебаний. Эти случаи проиллюстрированы на Рисунке 5.33.

Рис. 5.33. Два режима вибрации транспортного средства в продольной плоскости.

Положения центров движения зависят от относительных величин собственных частот передней и задней подвесок, где эти частоты определяются квадратным корнем из жёсткости, делённой на массу. То есть:

(5-37)

(5-38)

Рисунок 5.34 показывает геометрическое место точек центров движения в зависимости от собственной частоты переда/зада. При равных частотах один центр находится в положении CG, а другой - в бесконечности. Равные частоты соответствуют несвязанным режимам вертикальной и продольной вибрации, и как результат, "чистым" вертикальным и продольным движениям. При более высокой частоте спереди движение общее, с центром вертикальных вибраций впереди передней оси и центром продольных вибраций за задней осью. Более низкая частота спереди помещает центр вертикальных колебаний за задней осью, а центр продольных вибраций - рядом с передней осью. Этот последний случай был признан Морисом Олли в 1930 году как лучший для достижения хороших характеристик движения.

Рис. 5.34. Влияние отношения собственных частот на позиции центров движения.

Руководящие принципы для проектирования автомобилей с хорошими ходовыми качествами (по крайней мере для низкочастотных режимов вибрации твёрдого тела), Морис Олли, один из основателей современной динамики транспортного средства, установил ещё в 1930 году. Они были получены из экспериментов с автомобилем, изменённым так, чтобы позволить изменение продольного момента инерции (его знаменитая установка "k2") [43]. Хотя мера качества поездки была строго субъективной, эти принципы считаются действительными эмпирические правилами даже для современных автомобилей. Критериями Олли являются:

1)   Передняя подвеска должна иметь на 30% меньшую жёсткость, чем задняя подвеска, или подрессоренный центр должен быть позади CG не менее чем на 6.5% от колёсной базы. Хотя это явно не определяет собственные частоты передней и задней подвесок, так как распределение веса вперёд-назад на легковых автомобилях близко к 50-50, это будет гарантировать, что задняя частота больше, чем передняя.
 

2)   Частоты вертикальных и продольных колебаний должны быть близки друг к другу: частота вертикальных колебаний должна быть меньше, чем частота продольных колебаний, умноженная на 1.2. Для более высоких соотношениях в результате суперпозиции двух движений вероятны "интерференционные толчки" ("interference kicks"). В общем, это условие выполняется для современных автомобилей, потому что с колёсами, расположенными рядом с передним и задним концом шасси, их динамический индекс близок к единице.
 

3)   Ни одна частота не должна быть больше, чем 1.3 Гц, что означает, что эффективный статический прогиб транспортного средства должен превышать примерно 6 дюймов. Сохранение значений собственных частот ниже 1.3 Гц было продемонстрировано Рисунком 5.18.
 

4)   Частота бортовых колебаний должна быть примерно равной частотам вертикальных и продольных колебаний. Для того, чтобы свести к минимуму бортовые колебания, собственная частота крена должна быть низкой, как и для режимов вертикальных и продольных колебаний.

Правило, что задние подвески должны иметь более высокие жёсткости рессор (с более высокой собственной частотой) обосновывается тем фактом, что подпрыгивания автомобиля, как движения при езде, раздражают меньше, чем продольная качка. Так как воздействия от дороги к автомобилю сначала влияют на передние колёса, более высокое соотношение задней к передней частоте будет стремиться вызвать вертикальное колебание.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, рассмотрим автомобиль, наталкивающийся на дорожный ухаб. Временное запаздывание между дорожными воздействиями на передние и задние колёса при скорости движения вперёд, V, и колёсной базой автомобиля, L, будет:

t = L/V

(5-39)

Колебания спереди и сзади автомобиля для воздействия этого типа показано на Рисунке 5.35. Отметим, что вскоре после того, как задние колёса прошли над ухабом, транспортное средство находится в худшем состоянии продольной качки, показанном на рисунке точками A и B. Точка A соответствует передней части автомобиля, находящейся в крайнем верхнем положении, в то время как задняя часть (точка B) только начинает двигаться. Таким образом, автомобиль наклоняется довольно сильно.

Рис. 5.35. Колебания автомобиля, проезжающего над ухабом.

Из-за более высокой задней частоты, примерно после полутора колебаний задней подвески, оба конца машины движутся в фазе. То есть, корпус теперь просто подпрыгивает вверх и вниз, пока движение почти полностью не затухнет. На разных скоростях и на различных геометриях дороги отклик транспортного средства будет меняться. Таким образом, оптимальное соотношение частот переда и зада автомобиля должно быть определено экспериментально.